御制数理精蕴上编卷一数理本原河图、洛书、周髀经解数理本原：粤稽上古，河出图，洛出书，八卦是生，九畴是叙，数学亦于是乎肇焉。盖图书应天地之瑞，因圣人而始出；数学穷万物之理，自圣人而得明也。昔黄帝命隶首作算，九章之义巳启。尧命羲和治历，敬授人时，而岁功以成。周官以六艺教士，数居其一，周髀、商高之说可考也。秦、汉而后，代不乏人，如洛下闳、张衡、刘焯、祖冲之之徒，各有著述。唐、宋设明经算学科，其书颁在学宫，令博士弟子肄习。是知算数之学，实格物致知之要务也。故论其数，设为几何之分，而立相求之法，加减乘除，凡多寡轻重、贵贱盈朒无遗数也。论其理，设为几何之形，而明所以立算之故，比例分合，凡方圆大小、远近高深无遗理也。
溯其本原，加减实出于河图，乘除殆出于洛书。一奇一偶，对待相资，递加递减，而繁衍不穷焉。奇偶各分，纵横相配，互乘互除，而变通不滞焉。征其实用，测天地之高深，审日月之交会，察四时之节候，较昼夜之短长，以至协律度、同量衡，通食货，便营作，皆赖之以为统纪焉。今汇集成编，以类相从，提点线面体以为纲，分和较顺逆以为目法，无论巨细，惟择其善者，由浅以及深，执简以御繁，使理与数协，务有裨于天下国家，以传于亿万世云尔。
易系辞曰：天一地二，天三地四，天五地六，天七地八，天九地十，天数五，地数五，五位相得，而各有合。朱子日：河图以五生数，统五成数，而同处其方。盖揭其全以示人，而道其常数之体也。考其数，始于一，中于五，终于十，阳奇阴偶，而数之加减由是生焉。自一而二，自二而三，自三而四，自四而五，皆递加一以相生，自五复加一而成六。六加一而七，七加一而八，八加一而九，九加一而十，十则仍归于一，故至十而天地之数全矣。天数阳也，地数阴也。言天地即所以言阴阳也。五位相得而各有合，以五行之序而定位也。邵子曰：天之阳在南而阴在北；地之阴在南而阳在北。故河图之数，一阳位于北，二阴位于南，其即五行质具于地之义而言之欤？今以阴阳相生之数论之，一为阳，天一生水而位北，一加一为二为阴，地二生火而位南，二加一为三为阳；天三生木而位东，三加一为四为阴，地四生金而位西，四加一为五为阳，天五生土而位中。
至五而五行之数已周，此生数之极也。自一至五，则五又为一体矣，于是以五为中数，而复加一则为六。六，阴也，因五中数与一相加，故与一同位而属之水焉。六加一为七，以中数五计之，实加二，故与二同位而属之火焉。七加一为八，以中数五计之，实加三，故与三同位而属之木焉。八加一为九，以中数五计之，实加四，故与四同位而属之金焉。九加一为十，以中数五计之，复加五，故与五同位而属之土焉。至十而五行之数再周，天地之数已备，此成数之极也。以阴阳运行之序论之，以五生数，统十成数，位居于中，而奇数则始于北一，次东三，次南七，次西九；偶数则始于南二，次西四，次北六，次东八，此数之阴与阴，阳与阳，各从其类者也。以奇偶相得之数论之，一与六合，二与七合，三与八合，四与九合，五与十合，此又奇偶相得而各有合者也。
邵子谓圆者，河图之数，又曰：历纪之数，其肇于此。然则所谓数者，即一阴一阳，一奇一偶，循环无间，表里相维，百千万亿，总由此推之，以成其变化。河图者岂非天地自然生成之数也哉？
𠗂书之数，戴九履一，左三右七，二四为肩，八六为足，五居其中。
朱子谓：以五奇数统四偶数，而各居其所，盖主于阳以统阴，而肇其变数之用也。
邵子曰：数学虽多，乘除尽之矣。夫洛书者，数之源也，乘除之所以生也。易说卦传曰：参天两地而倚数。三，天数也；二，地数也。天地相合而万物育焉。一者太极之体，其数不行，故数行于二，三起于三，以三参之，则三九七一之数生焉；起于二，以二两之，则二四八六之数生焉。其序列之位，则天居四正，取以阳统阴之义；地居四维，取以阴从阳之义。其三九、七一，乘数则旋而左，除数则返而右也。其二四、八、六，乘数则旋而右，除数则返而左也。二三相合而为五，五则无对；居中者，立其体也；二五相合而为十，十仍归一。洛书不用者，藏其用也。是故三始于东方发生之地，而位于左，自东而南，三而三之，是为九，故戴九。自南而西，九而三之，为二十七，去成数余七，故右七；自西而北，七而三之，为二十一，去成数余一，故履一。
奇数左旋，以三参之，即天道左行之说也。如转而右行，以三除之，仍复其原数焉。二立于西南二阴始生之地，而位于右肩，自西南而东南，二而二之，是为四，位于左肩，自东南而东北，四而二之为八，位于左足；自东北而西北，八而二之，为十六，去十余六，位于右足。
偶数右旋，以二两之，即地道右行之说也。如转而左行，以二除之，仍复其原数焉。
此乘除之数，见于运行者如此。若以对待者观之，一与九对，一为数之始，九为数之终，互乘互除，其数不变也。二与八对，二八互乘，俱得十六，二除十六得八，八除十六仍得二，此二与八之相倚也。三与七对，三七互乘，皆二十一，三除二十一得七，七除二十一仍得三，此三与七之相倚也。四与六对，四六互乘，皆二十四，四除二十四得六，六除二十四仍得四，此四与六之相倚也。至五为二三之合，天地之交，阴阳之会，位于洛书之中，以建人极，配上下而为三才，故斜直四围皆得十五，合之得四十有五，为九五之数。要之，运行者，其序也，对待者，其位也。进退循环，纵横交错，总不外于乘除，故曰乘除之本原自洛书生也。周髀经解，数学之失传久矣。汉晋以来，所存几如一线。
其后祖冲之、郭守敬辈，殚心象数，立密率消长之法，以为习算入门之规。然其法以有尽、度无尽，止言天行，未及地体，是以测之有变更，度之多盈缩，盖有未尽之余蕴也。明万历间，西洋人始入中土。其中一二习算数者，如利玛窦、穆尼阁等，著为几何原本、同文算指诸书，大体虽具，实未阐明理数之精微。及我朝定鼎以来，远人慕化，至者渐多。有汤若望、南怀仁、安多、闵明我，相继治理历法，间明算学，而度数之理渐加详备。然询其所自，皆云本中土所流传。粤稽古圣，尧之钦明，舜之濬哲，历象授时，闰余定岁，𤪽玑玉衡，以齐七政，推步之学，孰大于是。至于三代盛时，声教四讫，重译向风，则书籍流传于海外者殆不一矣。周末，畴人子弟失官分散，嗣经秦火，中原之典章既多缺佚，而海外之支流，反得真传，此西学之所以有本也。
古算书存者，独有周髀、周公、商高问答，其本文也，荣方、陈子以下所推衍也。而汉张衡、蔡邕以为术数虽存，考验天状，多所违失。按荣方、陈子始言晷度，衡、邕所疑，或在于是。若周髀本文，辞简而意该，理精而用博，实言数者所不能外。其圆方矩度之规，推测分合之用，莫不与西法相为表里。然则商高一篇，诚成周六艺之遗文，而非后人所能假托也。旧注义多舛讹，今悉详正，弁于算书之首，以明数学之宗，使学者知中外本无二理焉尔。
昔者周公问于商高曰：窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度。周天历度者，分周天三百六十度，为推求历日之用也。按通鉴载包牺作甲历，天干地支相配，六甲一转，天度一周，年以是纪而岁功成，月以是纪而朔望定，昼夜以是纪而时日分。易大传言：包牺仰以观于天文，俯以察于地理，其观察之时，必有度数以纪其法象，则历度始于包牺无疑矣。夫天不可阶而升，地不可将尺寸而度。请问数从安出？天之高明，地之博厚，非人力所能及，其历度之数，不知从何而得也？
商高曰：数之法出于圆方。万物之象不出圆方，万象之数不离圆方。河图者，方之象也；洛书者，圆之象也。太极者，圆之体奇也；四象者，方之体偶也。奇数天也，偶数，地也。有天地而万物于是乎生；有圆方而万象于是乎定，有奇偶而万数于是乎立矣。圆出于方，以数而论，出于圆方；以圆方而论，则圆出于方。盖。
方易度而圆难测，方有尽而圆无尽，故推圆者以方度之，以有尽而度无尽也。是以圆周内弦外切，屡求勾股，为无数多边形，以切近圆界，将合而为一，而圆周始得。故曰圆出于方也。方出于矩。
孟子曰：不以规矩，不能成方圆。夫规所以成圆，而。
矩所以成方也，故凡方形必出于二矩相合。如矩之二股均者合之，即为正方；矩之二股，一大一小者，合之则为长方。盖因矩之为形，其角直，其线正，所以能成方体，此又直内方外之理，故曰方出于矩也。
矩出于九九八十一度，圆方者递归于矩，而矩之形，总不外乎二数相乘。九九者数之终，而一一乃数之始。
言九九而不及他数者，以九九之内，他数俱该也。是以一一为。
一二二为四，三三为九，四四为一十六，五五为二十五，六六为三十六，七七为四十九，八八为六十四，九九为八十一，乃矩之二股均平所成之正方也。
一二为二，一三为三，一四为四，一五为五，一六为六，一七为七，二八为八，一九为九，形虽未方，而其理犹存也。二三为六，二四为八，二五一十二，六一十二，二七一十四，二八一十六，二九一十八，三四一十二，三五一十五，三六一十八，三七二十一，三八二十四，三九二十七，四五二十四，六二十四，四七二十八，四八三十二，四九三十六，五六三十五，七三十五，五八四十五，九四十五，六七四十二，六八四十八，六九五十四，七八五十六，七九六十三，八九七十二，乃矩之一股小，一股大所成之长方也。至于一百之类，虽为正方，乃十之相乘，十则仍归于一也。又如八十四、九十六之类，乃六七四十二，六八四十八之倍，不得自立为数之本。又或十一、十三十七十九之类，十一为二五一十之奇，十三为二六一十二之奇，十七为四四一十六之奇，不得成正方，亦不得成长方，故不入九九之数也。
是以九九之数为方之本，而方之形必合以矩，故曰矩出于九九八十一也。故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。前言圆方之形，此言勾股生成之正数也。以二矩。
合之既为方形，今以一矩折之，则为一方之两边，是以折矩之横者为勾之广，折矩之纵者为股之长，于勾股之末，以斜弦连之，是为径隅。径，直也。隅，角也，言自两角相对直连之也。勾之广必三，股之修必四，而径隅始得五，此乃自然生成之正分也。易曰：参天两地而倚数。天数一，参之则为三；地数二，两之则为四，三二合之则为五。此又勾三股四、弦五之正义也。
既方其外，半其一矩，此言勾股之面积也。勾、股以弦连之，不得为方形，必再合一矩，乃为一长方。所谓方其外者，言弦之外复加一矩以成方也。勾三股四相乘得一十有二，即为两矩合成之数，半之得六，乃勾股之面积，所谓半其一矩者也。环而共盘，得成三四五，此言勾股弦相和之数也。环而共盘者，环绕盘旋于勾股弦之周围，得成三四五，共之为一十有二，乃三数相和之总数也。两矩共长二十有五，是为积矩。此言勾股相求之法也。两矩者，勾与股也。其所以相求者，以勾、股弦各面积彼此加减以立法也。勾三自乘为九，股四自乘为一十有六，合而计之为二十有五，是勾股各自乘之积相并而与弦自乘。
之积等，故曰积矩也。弦之自乘积内减勾自乘之积，得股自乘之积；弦之自乘积内减股自乘之积，得勾自乘之积，故为勾股弦相求之法也。
故禹之所以治天下者，此数之所由生也。言禹之平成之功，昭垂万古，揆厥所以奏绩者，必藉勾股以审高下，始得顺水之性而告厥成功也。然则禹之所以治水者，非此勾股之数所由生乎？
周公曰：大哉言数，请问用矩之道。商高曰：平矩以正绳。此言用矩立法必以正且直也。平矩以正绳有两义：平置其矩，使矩之角直，以此直角之一股或横或平以度高，复自一股引绳以度其分，则此分为我所知，故以所知推所不知。此绳引长时，必使与直角对正，不论其分之几何，引之又必令直，方能得测度之准，故为平矩以正绳。又平者，均平整齐之谓。用矩之道，矩之角正，然后二股得直，以之测高测远，乃得度其大小之分。此矩既正，而所测之度亦正矣。孟子曰：规矩准绳，以为方圆平直。绳者即准之之意。规矩所以度圆方，而准绳所以考平直，故准之以平，绳之以直，始得立法之精微，故曰平矩以正绳也。偃矩以望高，此用矩测高之法也。偃者，仰也。仰矩方可测高，矩之一股植立在前，一股定平在下，然后比例推之。
盖平股与立股之比，即所知之远与所测之高之比也，故仰测之而得高。
覆矩以测深，此用矩测深之法也。
覆者，俯也。俯矩方可测深。
矩之一股立者在前，一股平者在上，平股与立股之比，即所知之远与所测之深之比也，故俯测之而得深。
卧矩以知远，此用矩测远之法也。
卧者，平也，平矩方可测远。以矩之一股为横向内，一股为纵向前，是以横与纵之比，即所知之度与所求之远之比也。故平测之而得远。
环矩以为圆，此用矩为圆之法也。以矩之一端为枢，一端旋转为圆，则成一圜。环矩者，即旋规之说也。
合矩以为方，此用矩为方之法也。矩，二股也，两矩相合，乃成一方，即前方出于矩之说也。
方属地，圆属天，天圆地方，前言用矩以测高深广远，复用矩以为圆方，此以圆方属之天地者，非以形体言，盖以阴阳动静之理言也。乐记云：著不息者，天也；著不动者，地也。不息故运而不积，圆之象也。不动故静而有常，方之理也。且圆之数无尽，而方之数有尽，天不可阶而升，测天者恒于地上度之，是仍以方度圆也。凡数之不尽者必奇，数之可尽者必偶，是以阳为奇，阴为偶，此方圆之理数，所以属乎天地也。方数为典，以方出圆。
典，则也。言圆之数奇零不尽，不可为则，故惟方数可为典则。
以方出圆者，以方之形度圆之分，从方数中生出圆数，即前圆出于方之说也。如圆径求积，则以径自乘之为正方形，而以方率、圆率比例推之，即得圆积，是皆以方出圆之理也。
笠以写天，天青黑，地黄赤，天数之为笠也，青黑为表，丹黄为里，以象天地之位。
此即仪象以表天地之形色也。笠形圆，故以象天，写象也。青黑，天之色，黄赤，地之色。天数之为笠形，则以青黑为表，丹黄为里，以象天地之位，盖取天包地之象也。
是故知地者智，知天者圣。智出于勾，勾出于矩。
夫矩之于数，其裁制万物，惟所为耳。天地之高深广远，非圣智不能知，然圣智非由理之自然，亦不能无所凭借而知也。故明勾股之数，即可以知地而为智，知地之数，即可因地以知天而为圣矣。故曰智出于勾也。然勾股之形，又赖矩以成，故矩为勾股之本，而天地之高深广远，皆赖矩以测。况万物之大小巨细，岂能外于矩之度分乎？故矩之于数，其裁制万物，惟其所为而无不可也。周公曰：善哉！以周公之圣，而与之曰善哉！则其得数之本，立法之妙，可谓至矣。至是而周髀之义尽矣。
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