向量空间的定义与基本性质
一、向量空间的定义与基本公理
向量空间与线性空间的定义：
向量空间（Vector Space） 是一个非空集合 VVV，配备两个运算（加法和数乘），满足以下八个公理：
加法封闭性：对任意 u,v∈Vu, v \in Vu,v∈V，有 u+v∈Vu + v \in Vu+v∈V。加法交换律：对任意 u,v∈Vu, v \in Vu,v∈V，有 u+v=v+uu + v = v + uu+v=v+u。加法结合律：对任意 u,v,w∈Vu, v, w \in Vu,v,w∈V，有 (u+v)+w=u+(v+w)(u + v) + w = u + (v + w)(u+v)+w=u+(v+w)。存在加法单位元：存在零向量 0∈V0 \in V0∈V，使得对任意 v∈Vv \in Vv∈V，有 v+0=vv + 0 = vv+0=v。存在加法逆元：对每个 v∈Vv \in Vv∈V，存在 −v∈V-v \in V−v∈V，使得 v+(−v)=0v + (-v) = 0v+(−v)=0。数乘封闭性：对任意标量 ccc 和向量 v∈Vv \in Vv∈V，有 c⋅v∈Vc \cdot v \in Vc⋅v∈V。数乘分配律（标量加法）：对任意标量 c,dc, dc,d 和向量 v∈Vv \in Vv∈V，有 (c+d)⋅v=c⋅v+d⋅v(c + d) \cdot v = c \cdot v + d \cdot v(c+d)⋅v=c⋅v+d⋅v。数乘分配律（向量加法）：对任意标量 ccc 和向量 u,v∈Vu, v \in Vu,v∈V，有 c⋅(u+v)=c⋅u+c⋅vc \cdot (u + v) = c \cdot u + c \cdot vc⋅(u+v)=c⋅u+c⋅v。标量乘法结合律：对任意标量 c,dc, dc,d 和向量 v∈Vv \in Vv∈V，有 c⋅(d⋅v)=(c⋅d)⋅vc \cdot (d \cdot v) = (c \cdot d) \cdot vc⋅(d⋅v)=(c⋅d)⋅v。存在单位标量：存在标量 1，使得对任意 v∈Vv \in Vv∈V，有 1⋅v=v1 \cdot v = v1⋅v=v。
向量空间的例子：
实数域上的向量空间 Rn\mathbb{R}^nRn：对于任意的 nnn-维列向量，集合 Rn\mathbb{R}^nRn 配备标准加法和数乘运算，构成一个向量空间。复数域上的向量空间 Cn\mathbb{C}^nCn：对于复数域上的向量空间 Cn\mathbb{C}^nCn，可以通过类似的运算定义向量空间。函数空间：例如，所有连续函数构成的集合 C[a,b]C[a, b]C[a,b] 也是一个向量空间，运算为函数的加法和数乘。
二、基与维度
基的定义：
**基（Basis）**是一个线性无关的向量集合，其线性组合能够表示向量空间中的任意向量。对于一个向量空间 VVV，若 {v1,v2,...,vn}\{v_1, v_2, ..., v_n\}{v1,v2,...,vn} 是 VVV 的一组基，则任意向量 v∈Vv \in Vv∈V 都可以表示为基向量的线性组合：
v=c1v1+c2v2+...+cnvn
v = c_1 v_1 + c_2 v_2 + ... + c_n v_n
v=c1v1+c2v2+...+cnvn
其中，c1,c2,...,cnc_1, c_2, ..., c_nc1,c2,...,cn 是标量。
维度的定义：
**维度（Dimension）**是向量空间中基的元素个数。对于一个向量空间 VVV，如果其基包含 nnn 个元素，则称 VVV 的维度为 nnn，记作 dim(V)=n\dim(V) = ndim(V)=n。
基与维度的计算：
计算向量空间的维度的关键是找到一组基。对于 Rn\mathbb{R}^nRn 空间，显然其基是 {(1,0,0,...,0),(0,1,0,...,0),...,(0,0,...,0,1)}\{(1, 0, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), ..., (0, 0, ..., 0, 1)\}{(1,0,0,...,0),(0,1,0,...,0),...,(0,0,...,0,1)}，因此其维度为 nnn。对于函数空间 C[a,b]C[a, b]C[a,b]，可以找到一组基，如多项式基或傅里叶基等。
三、课堂活动
1. 通过具体例子，计算不同向量空间的维度
活动内容：
例题 1： 计算 R3\mathbb{R}^3R3 的维度。讨论如何通过标准基 {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}\{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\}{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} 来确认维度为 3。例题 2： 计算二维实数向量空间 R2\mathbb{R}^2R2 的维度，并通过基 {(1,0),(0,1)}\{(1, 0), (0, 1)\}{(1,0),(0,1)} 来验证维度为 2。
2. 讨论向量空间的基与坐标系的关系
活动内容：
例题 1： 给定 R3\mathbb{R}^3R3 中的任意向量 v=(x,y,z)v = (x, y, z)v=(x,y,z)，讨论该向量在标准基 {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}\{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\}{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} 下的坐标为 (x,y,z)(x, y, z)(x,y,z)。例题 2： 考虑非标准基 {(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)}\{(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)\}{(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)}，讨论如何将 R3\mathbb{R}^3R3 中的向量 v=(x,y,z)v = (x, y, z)v=(x,y,z) 转换为新的坐标系。
四、Python代码实现示例
计算向量空间的维度：
import sympy as sp
# 定义三维向量空间 R^3
v1 = sp.Matrix([1, 0, 0])
v2 = sp.Matrix([0, 1, 0])
v3 = sp.Matrix([0, 0, 1])
# 检查这三向量是否线性无关
matrix = sp.Matrix.hstack(v1, v2, v3)
rank = matrix.rank()
print(f"R^3 的维度是：{rank}")
计算基与坐标变换：
import numpy as np
# 定义标准基和非标准基
standard_basis = np.array([[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]) # 标准基
new_basis = np.array([[1, 1, 0], [0, 1, 1], [1, 0, 1]]) # 非标准基
# 假设有向量 v = (x, y, z) 在标准基下的坐标为 (x, y, z)
v_standard = np.array([1, 2, 3]) # 例如，(1, 2, 3)
# 计算该向量在新的基下的坐标
new_coordinates = np.linalg.inv(new_basis).dot(v_standard)
print(f"向量 {v_standard} 在新的基下的坐标是：{new_coordinates}")
总结
通过这节课，将掌握向量空间的基本定义与公理，学习如何计算不同向量空间的维度，了解基与维度之间的关系，并通过实际问题来理解坐标系与基之间的联系。